Depois de Fraturar o Quebra-Cabeça “Soma dos Cubos” por 42, os Matemáticos Resolvem um Problema mais Difícil que Confunde os Especialistas há Anos
O que você faz depois de resolver a resposta à vida, ao espaço profundo e também a tudo? Se vocês são matemáticos, Drew Sutherland e Andy Booker, vão para a questão mais desafiadora.
Em 2019, Booker, no College of Bristol, e Sutherland, principal cientista do MIT, foram os primeiros a descobrir a resposta para 42. O número tem relevância para a cultura pop como uma resposta fictícia para “a maior questão da vida, o universo , e tudo mais “, como Douglas Adams escreveu em seu exclusivo” Guia do Mochileiro das Galáxias “. A investigação que gera 42, pelo menos no único, é frustrante e hilariamente não identificada.
Em matemática, inteiramente por coincidência, existe uma equação polinomial para a qual a resposta, 42, também evitou os matemáticos por décadas. A fórmula x 3 + y 3 + z 3 = k é chamada de problema da soma dos dados. Embora direta, a equação chega a ser exponencialmente desafiadora de corrigir quando enquadrada como uma “fórmula diofantina” – uma questão que estipula que, para qualquer valor de k, os valores de x, y e z devem ser inteiros.
Quando a fórmula da quantidade de dados é estruturada desta forma, para valores certos de k, as soluções inteiras para x, y e z podem crescer para números enormes. O espaço numérico que os matemáticos devem procurar para esses números é ainda maior, necessitando de cálculos elaborados e massivos.
Ao longo dos anos, os matemáticos já haviam lidado com inúmeras maneiras de resolver a fórmula, seja descobrindo uma opção ou estabelecendo que um serviço não deveria existir, para cada valor de k entre 1 e 100, além de 42.
Em setembro de 2019, Booker e Sutherland, utilizando o poder consolidado de meio milhão de computadores em todo o mundo, pela primeira vez encontraram uma opção para 42. O desenvolvimento amplamente divulgado estimulou o grupo a enfrentar um problema também mais difícil e de alguma forma extra global: encontrar a seguinte opção para 3.
Booker e Sutherland publicaram agora as soluções para 42 e 3, além de vários outros números superiores a 100, recentemente no Processo da Academia Nacional de Ciências.
Pegando o desafio
Os dois serviços iniciais para a equação x 3 + y 3 + z 3 = 3 podem ser evidentes para qualquer aluno de álgebra do ensino médio, onde x, y e z podem ser 1, 1 e 1 ou 4 , 4, bem como 5. Localizar o terceiro remédio, no entanto, confundiu os filósofos dos números profissionais por anos, e também em 1953, o problema fez com que o matemático pioneiro Louis Mordell questionasse: É mesmo possível reconhecer se outras opções para 3 existem?
“Isso foi como se Mordell estivesse jogando o desafio”, diz Sutherland. “A paixão em resolver essa preocupação não é muito para o serviço em particular, mas para entender muito melhor o quão difícil essas equações são de consertar. É uma referência com a qual podemos nos medir.”
Conforme os anos se passaram sem novos serviços para 3, muitos começaram a pensar que não havia nenhum para ser localizado. Mas não muito depois de encontrar a solução para o 42, Booker e também a técnica de Sutherland, em pouco tempo, apresentaram o seguinte serviço para 3:
569936821221962380720 3 + (- 569936821113563493509) 3 + (- 472715493453327032) 3 = 3
A descoberta foi uma solução direta para a pergunta de Mordell: Sim, é viável descobrir a seguinte opção para 3, e também, o que é mais, aqui está essa solução. E também provavelmente de forma muito mais geral, a possibilidade, envolvendo números gigantescos de 21 dígitos que não foram possíveis de peneirar até agora, sugere que há muito mais opções ao redor, para 3, e também vários outros valores de k.
“Houve algumas questões graves nas comunidades matemáticas e computacionais porque [a questão de Mordell] é difícil de testar”, disse Sutherland. “Os números ficam tão grandes tão rapidamente. Você provavelmente nunca encontrará mais do que os primeiros serviços. No entanto, o que posso afirmar é, tendo localizado essa opção, estou convencido de que há muito mais por aí.”
Um giro da solução
Para encontrar as soluções para 42 e 3, o grupo começou com uma fórmula existente, ou uma torção da equação da soma dos dados em um tipo que eles pensaram que seria um trabalho extra para resolver:
k – z 3 = x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 – xy + y 2 ).
Essa estratégia foi sugerida pela primeira vez pelo matemático Roger Heath-Brown, que julgou que deveria haver muitas opções para cada k adequado. A equipe personalizou ainda mais a fórmula, colocando x + y como um critério único, d. Eles então reduziram a equação dividindo ambos os lados por d e mantendo apenas o restante – uma operação em matemática denominada “módulo d” – deixando uma representação simplificada do problema.
“Agora você pode considerar k como uma origem de dados de z, módulo d”, explica Sutherland. “Então, pense em trabalhar em um sistema de matemática onde você apenas respeita o módulo d restante, e estamos tentando calcular uma origem de cubo de k.”.
Com essa variação mais elegante da fórmula, os pesquisadores só seriam obrigados a pesquisar d e z, o que, sem dúvida, garantiria a localização das opções supremas em x, y e z, para k = 3. No entanto, o espaço de números que eles fariam certamente a necessidade de explorar seria, sem dúvida, consideravelmente grande.
Assim, os cientistas aprimoraram a fórmula usando estratégias matemáticas de “peneiramento” para reduzir substancialmente o espaço de opções possíveis para d.
“Isso inclui algumas teorias de números relativamente sofisticadas, usando a estrutura do que entendemos sobre áreas de números para evitar a busca em áreas que não precisamos examinar”, afirma Sutherland.
Uma tarefa mundial
O grupo também desenvolveu métodos para dividir com eficiência a pesquisa da fórmula em milhares de centenas de fluxos de tratamento paralelos. Se a fórmula fosse trabalhada em apenas um computador, levaria centenas de anos para descobrir uma opção para k = 3. Ao separar a tarefa em inúmeras tarefas menores, cada uma funcionava separadamente em um sistema de computador separado, e o grupo também poderia acelerar sua pesquisa.
Em setembro de 2019, os cientistas colocaram sua estratégia em prática com o Charity Engine, um trabalho que pode ser baixado e instalado como um aplicativo gratuito em qualquer computador desktop. Ele é projetado para aproveitar qualquer poder de cálculo doméstico sobressalente para resolver problemas matemáticos difíceis coletivamente. Na época, a grade do Charity Engine formava mais de 400.000 sistemas de computador em todo o mundo, e Booker e Sutherland podiam executar sua fórmula na rede como um teste do novo sistema de software do Charity Engine.
“Para cada sistema de computador na rede, eles são informados, ‘seu trabalho é buscar d’s cujo elemento principal caia dentro dessa faixa, com base em algumas outras condições’”, afirma Sutherland. “Além disso, precisávamos identificar como separar o trabalho verticalmente em cerca de 4 milhões de tarefas que levariam cada uma cerca de três horas para serem concluídas por um computador”.
Extremamente rápido, a grade global retornou a solução inicial para k = 42, e simplesmente duas semanas depois, os cientistas verificaram que haviam encontrado a 3ª solução para k = 3 – um marco que eles marcaram, parcialmente, imprimindo a equação em Camisetas.
A verdade de que existe a 3ª opção para k = 3 recomenda que a opinião original de Heath-Brown fosse correta, de que existem mais serviços e ainda o mais recente. Da mesma forma, Heath-Brown prevê que a área entre as soluções sem dúvida crescerá exponencialmente, junto com suas pesquisas. Por exemplo, em vez dos valores de 21 dígitos do terceiro serviço, a quarta opção para x, y e z provavelmente envolverá números com estonteantes 28 dígitos.
“A quantidade de trabalho que você tem que fazer para cada nova opção se expande em um aspecto de mais de 10 milhões, então o seguinte remédio para três vai exigir 10 milhões vezes 400.000 computadores para descobrir, e também não há garantia que seja o suficiente”, Sutherland diz. “Não sei se algum dia vamos entender o quarto remédio. No entanto, acho que está por aí.”
Referência: “On a question of Mordell” por Andrew R. Booker e Andrew V. Sutherland, 10 de março de 2021, Proceedings of the National Academy of Sciences .
DOI: 10.1073 / pnas.2022377118
