Matemático Explica que o Termo “Igual” Tem Vários Significados
A matemática tem muitos conceitos abstractos que são muitas vezes difíceis de compreender, mas assumimos que o significado de “igual” era bem compreendido. No entanto, parece que os matemáticos discordam sobre a definição exacta de igualdade, o que pode colocar desafios aos programas de computador cada vez mais utilizados para verificar provas matemáticas.
Este debate académico tem sido travado há décadas, mas tornou-se crítico porque os programas informáticos utilizados para formalizar ou verificar provas requerem definições precisas e inequívocas, e não definições abertas à interpretação ou ao contexto, que os computadores não possuem.
O matemático britânico Kevin Buzzard, do Imperial College de Londres, deparou-se com esta questão enquanto colaborava com programadores, o que o levou a reavaliar a definição de “igual” para desafiar os pressupostos comuns sobre a igualdade.
A Revelação de Buzzard sobre a Igualdade Matemática
Buzzard reflecte no seu preprint no servidor arXiv que, há seis anos, acreditava compreender a igualdade matemática como um conceito bem definido. No entanto, o trabalho com provadores de teoremas computacionais ao nível do mestrado revelou que a igualdade é uma questão mais complexa e espinhosa do que ele tinha percebido.
O sinal de igual (=), criado pelo matemático galês Robert Recorde em 1557 para simbolizar a igualdade entre objectos, foi inicialmente lento a ganhar aceitação. Acabou por substituir o termo latino ‘aequalis’ e preparou o terreno para a ciência da computação, fazendo a sua estreia na linguagem de programação FORTRAN I exatamente 400 anos depois, em 1957.
O conceito de igualdade remonta à Grécia antiga, mas os matemáticos modernos utilizam-no de forma pouco rigorosa, segundo Buzzard.
Tradicionalmente, os matemáticos utilizam o sinal de igual nas equações para demonstrar que diferentes objectos matemáticos partilham o mesmo valor ou significado, uma relação verificada através de transformações. Por exemplo, o número inteiro 2 pode representar um par de objectos, tal como 1 + 1.
A Influência da Teoria dos Conjuntos na Igualdade
Desde o final do século XIX, tem sido utilizada outra definição de igualdade, com origem na teoria dos conjuntos. Com o desenvolvimento da teoria dos conjuntos, a noção de igualdade expandiu-se. Por exemplo, os matemáticos podem considerar o conjunto {1, 2, 3} igual ao conjunto {a, b, c} devido ao isomorfismo canónico, que avalia as semelhanças estruturais entre grupos.
Buzzard explica que os matemáticos acharam prático chamar a esses conjuntos iguais porque se alinham naturalmente, como referiu a Alex Wilkins da New Scientist.
No entanto, esta abordagem à igualdade, conhecida como isomorfismo canónico, está agora a causar problemas aos matemáticos que tentam formalizar provas com computadores, afectando mesmo conceitos fundamentais estabelecidos há muito tempo.
“Nenhum dos sistemas informáticos existentes capta a forma como matemáticos como Grothendieck usam o símbolo da igualdade”, disse Buzzard a Wilkins, referindo-se a Alexander Grothendieck, um importante matemático do século XX que usou a teoria dos conjuntos para descrever a igualdade.
Alguns matemáticos propõem a redefinição de conceitos para equiparar formalmente o isomorfismo canónico à igualdade.
Buzzard discorda, instando os matemáticos a reavaliar conceitos fundamentais como a igualdade para colmatar a lacuna entre a sua compreensão e o que os computadores podem processar.
“Quando se é forçado a definir claramente o que se quer dizer sem depender de termos vagos”, escreve Buzzard, “por vezes é preciso fazer trabalho adicional ou repensar a forma como certas ideias devem ser apresentadas”.
Leia o Artigo Original: Science Alert
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