Conhecimento profundo preparado para ‘explodir’ equações líquidas famosas

Os matemáticos gostariam de saber se as equações relativas à circulação de fluidos podem quebrar ou “explodir” em determinadas circunstâncias.

Por mais de 250 anos, os matemáticos têm tentado “explodir” algumas das fórmulas mais importantes da física. Isso explica exatamente como os líquidos circulam. Se forem bem-sucedidos, certamente terão encontrado um cenário em que essas equações quebram um vórtice. Isso gira definitivamente rápido, possivelmente ou um presente que de repente desiste e começa. Ou um pouco que passa por seus vizinhos definitivamente rapidamente. As equações de “singularidade” não terão mais serviços além desse fator de explosão. Eles certamente deixarão de funcionar para explicar até mesmo uma variação idílica do mundo em que vivemos. E os matemáticos terão um fator a questionar simplesmente quão amplamente confiáveis ​​são como versões de ações líquidas.

Mas as singularidades podem ser tão inseguras quanto os fluidos que são sugeridos para descrever. Para descobrir um, os matemáticos geralmente usam as equações que governam a circulação de líquidos. Alimente-os diretamente em um sistema de computador e execute simulações eletrônicas. Eles começam com uma coleção dos primeiros problemas, depois observam até o valor de alguma taxa de quantidade. Digamos, ou vorticidade (um passo de giro) – começa a crescer extremamente, relativamente no caminho certo para explodir.

Computadores perdendo a batalha

No entanto, os sistemas de computador não podem encontrar definitivamente a individualidade pela simples razão de que não podem trabalhar com valores infinitos. Se existir uma singularidade, os projetos de computador podem chegar perto do fator onde as equações explodem. No entanto, eles nunca podem vê-lo diretamente. Sem dúvida, as singularidades óbvias desapareceram quando penetradas com técnicas computacionais muito mais poderosas.

Tais aproximações ainda são cruciais, no entanto. Com um na mão, os matemáticos podem fazer uso de uma estratégia chamada prova assistida por computador para mostrar que a individualidade real existe nas proximidades. Na verdade, eles já fizeram isso para uma variação simplificada e unidimensional do problema.

Agora, em uma pré-impressão postada online no início deste ano. Um grupo de matemáticos e geocientistas descobriu um método completamente novo para aproximar a individualidade. Um que aproveita um tipo de aprendizado profundo desenvolvido recentemente. Usando esse método, eles tiveram a capacidade de observar a singularidade diretamente. Eles também estão usando-o para procurar individualidades que realmente evitaram abordagens típicas. Revelar que as fórmulas não são tão infalíveis quanto parecem.

O trabalho na verdade introduziu uma corrida para explodir as equações dos fluidos. De um lado a equipe de profundo conhecimento. Por outro lado, os matemáticos vêm trabalhando há muitos anos com estratégias mais reconhecidas. Não importa quem poderia ganhar a corrida. Se algum indivíduo é certamente capaz de chegar ao objetivo. O resultado mostra como as redes semânticas podem ajudar a transformar a aparência de novos serviços em classificações de diferentes problemas.

A explosão que desaparece

Leonhard Euler anotou as fórmulas no centro do novo trabalho em 1757 para explicar o movimento de um líquido ideal e incompressível. Um líquido sem viscosidade ou atrito interno não pode ser espremido em uma quantidade menor. (Os fluidos que têm uma espessura, como muitos dos encontrados na natureza, são modelados pelas equações de Navier-Stokes. Explodindo-os ganharia um Prêmio do Milênio de US$ 1 milhão do Clay Maths Institute). Ofereceu a taxa de cada fragmento no fluido em algum fator de partida. As fórmulas de Euler precisam antecipar a circulação do líquido para a perpetuidade.

No entanto, os matemáticos gostariam de saber se, em algumas situações, mesmo que absolutamente nada possa parecer errado no início. As equações podem, em algum momento, encontrar problemas. (Há um fator em presumir que este pode ser o exemplo. Os fluidos adequados que eles modelam não agem como fluidos reais que são simplesmente um pouquinho espessos. A formação da individualidade nas fórmulas de Euler poderia esclarecer essa aberração.).

Novas considerações

Em 2013, um par de matemáticos recomendou exatamente esse cenário. Dado que a dinâmica de uma circulação líquida tridimensional completa pode tornar-se impossivelmente complexa. Thomas Hou, matemático do Instituto de Inovação da Califórnia. E também, Guo Luo está atualmente na Universidade Hang Seng de Hong Kong. Considerados fluxos que obedecem a uma certa simetria.

Em suas simulações, um líquido gira dentro de uma caneca cilíndrica. O líquido nos cinqüenta por cento superiores da caneca gira no sentido horário, enquanto a metade inferior gira no sentido anti-horário. Os fluxos rivais levam à formação de outras correntes desafiadoras que circulam para cima e para baixo. Rapidamente suficiente, a vorticidade do fluido decola em um fator ao longo da fronteira onde os fluxos opostos se cumprem.

Enquanto esta apresentação deu uma prova convincente de individualidade. Sem provas, era difícil reconhecer com certeza que era um. Antes de Hou e também o trabalho de Luo, várias simulações recomendavam uma possível individualidade. No entanto, a maioria deles desapareceu quando examinado no futuro por um computador mais eficaz. “Você acha que existe um”, disse Vladimir Sverak, matemático da Universidade de Minnesota. “Então você o coloca em um sistema de computador maior com melhor resolução e, de alguma forma, o que parecia uma excelente circunstância de individualidade acaba não sendo verdade.”.

Isso porque essas opções podem ser exigentes. Eles são vulneráveis ​​a pequenos e relativamente pequenos erros que podem se acumular com cada ação de tempo em uma simulação. “É uma arte sutil tentar fazer uma boa simulação em um computador da equação de Euler”, afirmou Charlie Fefferman, matemático do Princeton College. “A fórmula é tão consciente de pequenos erros na 38ª área decimal do remédio.”.

Procurando por aproximações

Ainda assim, a solução aproximada de Hou e Luo para uma singularidade resistiu a todos os testes lançados até agora, e na verdade motivou muitos trabalhos associados, consistindo em evidências completas de explosão para versões fracas do problema. “É de longe a melhor situação para o desenvolvimento da individualidade”, afirmou Sverak. “Muitas pessoas, inclusive eu, acreditam que desta vez é uma singularidade real.”.

Para verificar totalmente a explosão, os matemáticos precisam revelar que, dada a individualidade aproximada, existe uma real por perto. Eles podem reformular essa declaração – que uma opção genuína vive em uma comunidade adequadamente próxima à estimativa – termos matemáticos imprecisos. Depois disso, eles mostram que é verdade se edifícios específicos podem ser confirmados. No entanto, a confirmação desses edifícios precisa de um computador mais uma vez: neste momento, para executar uma coleção de cálculos (que envolvem a opção aproximada) e gerenciar meticulosamente os erros que possam se acumular no processo.

Hou e também seu aluno de pós-graduação Jiajie Chen vêm buscando provas assistidas por computador há vários anos. Eles melhoraram o remédio aproximado de 2013 (em um resultado intermediário, eles ainda não tornaram público) e atualmente estão usando essa aproximação como base para suas novas evidências. Na verdade, eles também revelaram que essa abordagem geral pode funcionar para problemas menos complicados de corrigir do que as equações de Euler.

Agora, mais um grupo se inscreveu na caçada. Eles descobriram uma estimativa própria – uma que se parece muito com o resultado de Hou e Luo – usando uma estratégia completamente diferente. Eles estão atualmente utilizando-o para escrever suas próprias provas assistidas por computador. No entanto, para adquirir sua estimativa, o primeiro exigia contar com um novo tipo de compreensão profunda.

Redes Neurais Antárticas

Tristan Buckmaster, um matemático de Princeton que atualmente estuda no Instituto de Pesquisa Avançada, experimentou essa nova técnica simplesmente por coincidência. Em 2014, Charlie Cowen-Breen, um estudante de graduação em sua divisão, pediu que ele aceitasse um projeto. Cowen-Breen estava estudando a dinâmica do manto de gelo na Antártida sob a orientação do geofísico de Princeton Ching-Yao Lai. Eles tentaram presumir a viscosidade do gelo e prever sua circulação futura usando imagens de satélite e outros monitoramentos. No entanto, para fazer isso, eles contaram com um método de aprendizado profundo que Buckmaster não havia visto antes.

Ao contrário das redes neurais típicas, que são treinadas com muitas informações para fazer previsões, uma “rede neural informada pela física”, ou PINN, precisa satisfazer uma coleção de restrições físicas subjacentes. Isso pode incluir legislações de movimento, preservação de energia, termodinâmica – o que quer que os pesquisadores precisem codificar para o problema específico que estão tentando resolver.

Infundir física diretamente na rede neural serve a várias funções. Por um lado, permite que a rede resolva questões quando há muito poucos dados disponíveis. Também permite que o PINN presuma parâmetros não identificados nas fórmulas originais. Em muitos problemas físicos, “sabemos aproximadamente como as equações precisam se parecer; no entanto, não reconhecemos quais devem ser os coeficientes de [certos] termos”, afirmou Yongji Wang, cientista de pós-doutorado no laboratório de Lai e também um dos coautores do novo artigo. Esse foi o caso do parâmetro que Lai e Cowen-Breen estavam tentando estabelecer.

“Chamamos isso de mecânica dos fluidos oculta”, afirmou George Karniadakis, matemático aplicado da Brown University que estabeleceu os primeiros PINNs em 2017.

O pedido de Cowen-Breen obteve a suposição de Buckmaster. As técnicas atemporais para fixar as equações de Euler com um limite cilíndrico – como Hou, Luo e Chen haviam feito – envolveram progressões meticulosas ao longo do tempo. No entanto, por causa dessa dependência do tempo, eles poderiam chegar realmente perto da individualidade sem nunca alcançá-la: à medida que se aproximavam esgueirando-se cada vez mais perto de algo que poderia se assemelhar ao infinito, os cálculos do computador obteriam um número crescente de dados não confiáveis, para garantir que eles não podiam, de fato, considerar o ponto da explosão em si.

Mas as fórmulas de Euler podem ser representadas com mais uma coleção de equações que afastam o tempo por meio de um truque tecnológico. O resultado de 2013 de Hou e Luo não foi simplesmente digno de nota por definir uma opção aproximada específica; a solução que eles localizaram também parecia ter um tipo específico de estrutura “auto-semelhante”. Isso sugeria que, à medida que o modelo progredia no tempo, seu remédio aderiu a um certo padrão: sua forma mais tarde parecia muito com sua forma inicial, apenas maior.

Essa função sugeriu que os matemáticos podem se concentrar em um tempo anterior à ocorrência da individualidade. Se eles se concentrassem naquele instantâneo pelo melhor preço – como se estivessem verificando sob uma lente microscópica com uma configuração de ampliação sempre ajustável – eles poderiam projetar o que aconteceria mais tarde, exatamente o fator da própria individualidade. Por outro lado, se eles redimensionassem as coisas dessa maneira, absolutamente nada daria muito errado nesse sistema novinho em folha, assim como eles poderiam se livrar de qualquer demanda para lidar com valores ilimitados. “Está chegando perto de uma boa restrição”, afirmou Fefferman, cuja restrição representa o incidente da explosão na versão dependente do tempo das fórmulas.

“É mais simples projetar esses recursos [redimensionados]”, afirmou Sverak. “Portanto, é uma grande vantagem se você pode descrever uma individualidade usando uma função [auto-semelhante].”.

A questão é que para isso funcionar; os matemáticos não precisam apenas resolver as equações (agora escritas em colaborações auto-similares) para os critérios normais, como velocidade e vorticidade. As próprias equações também têm uma especificação não identificada: a variável que controla o preço da ampliação. Seu valor precisa ser ideal para garantir que o serviço às equações represente uma solução de explosão na versão inicial do problema.

Os matemáticos teriam que resolver as fórmulas para frente e para trás ao mesmo tempo – um trabalho difícil, de outra forma impossível de alcançar utilizando métodos convencionais.

No entanto, descobrir esse tipo de remédio é exatamente para o que os PINNs foram desenvolvidos.

O caminho para a explosão

Em retrospectiva, Buckmaster afirmou, “parece uma coisa óbvia a se fazer”.

Ele, Lai, Wang e Javier Gómez-Serrano, matemático da Brown University e do College of Barcelona, ​​estabeleceram um conjunto de restrições físicas para ajudar a conduzir seu PINN: condições ligadas ao equilíbrio e também a vários outros edifícios, bem como como as fórmulas que pretendiam resolver (eles utilizaram um conjunto de equações 2D, reescritas usando coordenadas auto-semelhantes, que são reconhecidas como comparáveis ​​às equações 3D de Euler em fatores próximos ao limite cilíndrico).

Depois disso, a rede neural procurou as opções e a especificação auto-semelhante que satisfizesse essas restrições. “Esta técnica é realmente flexível”, afirmou Lai. “Você pode encontrar constantemente um remédio, desde que aplique as restrições adequadas.” (Na verdade, a equipe demonstrou essa adaptabilidade examinando a técnica em várias outras questões.).

A resposta do grupo se parecia muito com o serviço ao qual Hou e Luo chegaram em 2013. Mas os matemáticos realmente esperam que sua estimativa mostre uma imagem mais abrangente do que está ocorrendo porque marca a primeira estimativa direta de uma solução auto-semelhante para este problema. “O novo resultado especifica muito mais especificamente como a individualidade é formada”, afirmou Sverak – exatamente como certos valores explodirão e como as equações certamente cairão.

“Você está realmente extraindo o significado da singularidade”, disse Buckmaster. “Foi muito difícil revelar isso sem redes semânticas. Está claro o tempo todo que é uma abordagem muito mais fácil do que as abordagens padrão”.

Gómez-Serrano concorda. “Isso fará parte das caixas de ferramentas convencionais que os indivíduos terão à mão no futuro”, disse ele.

Mais uma vez, os PINNs expuseram o que Karniadakis chamou de “mecânica de automóveis de fluidos ocultos” – neste momento, eles avançaram em um problema muito mais teórico do que os PINNs para os quais geralmente são usados. “Eu não vi ninguém usar PINNs para isso”, disse Karniadakis.

Esse não é o único fator que agrada aos matemáticos. Os PINNs também podem estar perfeitamente situados para encontrar mais um tipo de individualidade quase indetectável para abordagens numéricas tradicionais. Essas singularidades “imprevisíveis” podem ser as únicas que existem para versões seguras da dinâmica dos líquidos, consistindo nas equações de Euler sem limite redondo (que já são muito mais difíceis de abordar) e nas equações de Navier-Stokes. “Coisas instáveis ​​existem. Então, por que não descobri-los?” afirmou Peter Constantin, um matemático de Princeton.

No entanto, mesmo para as individualidades estáveis ​​com as quais as estratégias clássicas podem lidar, a opção que o PINN atendeu às fórmulas de Euler com uma borda redonda “é quantitativa e exata e tem uma possibilidade muito maior de ser rigorosa”, afirmou Fefferman. “Agora há um plano [em direção a evidências]. Certamente terá muitos empregos. Certamente exigirá muita habilidade. Eu visualizo que certamente levará alguma originalidade. No entanto, não vejo que certamente será necessário um gênio. Eu acho que é viável.”.

O grupo de Buckmaster agora está competindo contra Hou e Chen para atingir o objetivo inicial. Hou e Chen têm uma vantagem inicial: De acordo com Hou, eles fizeram progressos significativos nos últimos anos para aumentar seu serviço aproximado e também completar as provas – e ele acredita que Buckmaster, assim como seus colegas, certamente precisam refinar sua solução aproximada antes de obter sua própria prova para funcionar. “Há realmente pouca margem para erro”, afirmou Hou.

Dito isso, muitos profissionais esperam que a busca de 250 anos para explodir as fórmulas de Euler esteja quase no fim. “Conceitualmente, acho que todas as partes vitais permanecem no local”, afirmou Sverak. “É muito difícil definir os detalhes.”.

Leia o artigo original na Revista Quanta.

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