Remoção de Imaginários em Campos de Valores Múltiplos: Contextualização

O conceito de modelo de campos com valor henseliano tem sido um assunto significativo de pesquisa ao longo do século passado; Os resultados de eficiência do projeto de Robinson lançados para áreas avaliadas algebraicamente fechadas em Haskell alcançaram um trabalho impressionante, tanto Hrushovski quanto Macpherson para entender o conceito de versão de áreas avaliadas algébricamente fechadas. Em uma seqüência de documentos e, eles desenvolveram a ideia de dominação segura, que ao invés de ser uma nova forma de estabilidade, deve ser reconhecida como um método para aplicar métodos de paz na configuração de campos valiosos. Mais trabalho de Ealy, Haskell, bem como Mařícová em para a configuração de campos reais fechados com valores convexos, sugeriu que o conceito de ter uma parte regular da estrutura não era essencial para obter resultados de supremacia e também indicou que a imagem correta deve ser de domínio de campo de depósito ou domínio pelo tipos internos ao campo de resíduos. Nossa inspiração primária para o arquivo existente surge da investigação totalmente natural de quanto mais uma ideia de dominação de área de depósito poderia ser alcançada em cursos mais abrangentes de campos avaliados para obter um modelo de compreensão lógico muito mais profundo de áreas avaliadas por henselian, e também o principal passo é encontrar uma linguagem sensata onde a área valorizada elimine imaginários.

O ponto de partida neste trabalho depende da tese de Ax-Kochen, que menciona que a própria teoria de primeira ordem de um campo valorado por henselian de zero equicaracterístico ou característica mista não-ramificada com excelente campo residual é inteiramente determinada pelo conceito de primeira ordem de seu valorizado e sua área de depósito. Um princípio natural decorre desta tese: as indagações do modelo lógico sobre o próprio campo valorado podem ser compreendidas reduzindo-as ao seu campo de resíduos, sua equipe valorizada e sua interação na área.

Uma aplicação prática deste conceito foi realizada para descrever o curso de coleções definidas. Por exemplo, em, Pas provou a eliminação do quantificador de área sobre a área de resíduo e a equipe avaliada, uma vez que os mapas de elementos angulares incluem a instância equicaracterística – cursos de atualização de Basarab, bem como FV Kuhlmann, mostram uma remoção de quantificador em relação aos tipos de RV.

A questão de saber se um campo valorado henseliano se livra de imaginários em uma língua oferecida é natural pela complexidade de seu grupo de valor e de seu campo de depósito, ambos são estruturas interpretáveis ​​da própria área valorada. Haskell, Hrushovski encerrou o caso de áreas avaliadas algébricamente, e também Macpherson em seu trabalho crucial, onde a eliminação de imaginários para ACV F atingiu assim que os tipos geométricos Sn (códigos para as redes O de classificação n), como bem como Tn (códigos para os cursos de depósito dos elementos em Sn), são adicionados. Esta prova foi posteriormente simplificada de forma dramática por Will Johnson em seu Ph.D. Tese utilizando um requisito isolado por Hurshovski.

Um trabalho recente foi feito para remover imaginários em algumas outras instâncias de áreas avaliadas por henselian, como o caso de campos avaliados separadamente em, o caso p-ádico em ou enriquecimento de ACVF em.

No entanto, os resultados acima foram todos adquiridos para circunstâncias particulares de campos com valor henseliano, enquanto a técnica muito mais básica de obter uma declaração de membro da família para classes mais amplas de áreas com valor henseliano ainda é uma questão em aberto altamente intrigante.

Aderindo ao princípio de design Ax-Kochen, parece natural tentar corrigir essa questão olhando para o problema em 2 direções ortogonais: tornando a área de resíduo tão dócil quanto possível e estudando. Quais problemas a equipe de valor traria para a cena, ou tornando o grupo de valor domesticado e reconhecendo os problemas que a área de resíduo adicionaria à situação?

Hils e Rideau provaram que, sob a suposição de ter um grupo de valor definitivamente inteiro e exigindo isso, o campo de resíduo remove o quantificador ∃ ^∞ , depois disso, qualquer coleção definida confessa um código, uma vez que as classificações geométricas, bem como as classificações diretas, são incluído no idioma. Qualquer equipe abeliana definitivamente obtida é divisível ou um grupo Z (ou seja, uma versão da Aritmética Presburger).

Este artigo trata da primeira técnica na definição de campos de valor henseliano de zero equicaracterístico. Supomos que a área de depósito seja fechada algebricamente e obtemos resultados sensíveis da complexidade da equipe de valor. Avaliamos inicialmente a instância em que a equipe de valor limitou as costas, um abeliano obtido com as costas limitadas elimina fracamente imaginários, uma vez que adicionamos classificações para os grupos quocientes Γ / ∆ para cada subgrupo convexo definido ∆e tipos para os grupos quocientes Γ / ∆ + lΓ onde ∆ é um subgrupo convexo definido, bem como l ∈ N ≥ 2. Descrevemos esses tipos como os tipos de quociente. O primeiro resultado que adquirimos é:

Tese 1.1. Seja K uma área avaliada de não igual, área de depósito algebricamente fechada e equipe de valor com costas limitadas. Então K admite eliminação fraca de imaginários uma vez que incluímos códigos para todos os O-submódulos definidos de Kn para cada n ∈ N, e também os tipos de quociente para a equipe de valor.

Mais tarde, mostramos um resultado muito melhor para o caso DP mínimo, que é:

Teorema 1.2. Permita que K seja um campo de valor henseliano de zero equicaracterístico, campo de depósito algebricamente fechado, bem como o grupo de valor dp mínimo. Depois disso, K elimina os imaginários, uma vez que adicionamos códigos para todos os Osubmódulos definidos de Kn para cada n ∈ N, os tipos de quociente para o grupo de valores e constantes para diferenciar representantes dos cosets de ∆ + lΓ em Γ, onde ∆ são um subgrupo convexo definido e l ∈ N ≥ 2.

Este artigo está organizado da seguinte forma:

– Seção 2 : Apresentamos os fundamentos necessários, consistindo em declarações de eliminação de quantificadores, o estado da arte do conceito de modelo de grupos abelianos ordenados e alguns resultados relativos a salas de vetores valiosos.

– Seção 3 : Examinamos módulos O definíveis de Kn. Nos concentramos no caso unidimensional e também na existência de códigos unários.

– Seção 4 : Começamos apresentando a exigência de Hrushovski de eliminar os imaginários. Apresentamos os tipos de estabilizadores, onde os submódulos O de Kn podem ser codificados. Concluímos esta seção fornecendo um resumo completo de cada um dos estabilizadores.

– Seção 5 : mostramos que as condições do requisito de Hrushovski são válidas. Esta é a espessura dos tipos definíveis em embutido definido em 1-variável X ⊆ K. Continuamos confirmando que qualquer tipo definível pode ser codificado nos tipos de estabilizador e Γ ^eq . Concluímos esta seção confirmando a remoção fraca de imaginários qualquer área de valor henseliano de zero equicaracterístico, área de depósito fechada algebricamente, bem como grupo de valor com pequenos espinhos até os tipos de estabilizador.

– Seção 6 : Revelamos uma declaração de remoção completa de imaginários quando o grupo de valor é dpminimal. Mostramos que qualquer coleção finita de tuplas nos tipos de estabilizador pode ser codificada.